Créée le, 30/05/05
Mise à jour le, 03/10/05
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1. 1. - NOTION DE PROGRESSION
1. 1. 1. - PROGRESSION ARITHMÉTIQUE
Définition : On appelle progression arithmétique, une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent augmente ou diminue d'un nombre constant appelé raison.
Exemple :
Progression arithmétique croissante de raison + 2 :
Progression arithmétique décroissante de raison - 3 :
1. 1. 2. - PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE
Définition : On appelle progression géométrique une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent multiplié ou divisé par un nombre constant appelé raison.
Exemple :
Progression géométrique croissante de raison 2 :
Progression géométrique décroissante de raison 3 :
1. 2. - LOGARITHME D'UN NOMBRE
1. 2. 1. - LOGARITHME D'UN NOMBRE SUPÉRIEUR A 1
Prenons une progression géométrique croissante de raison 10 et dont le premier est égal à 1 :
Prenons maintenant une progression arithmétique de raison + 1 et dont le premier terme est égal à 0.
Écrivons ces deux progressions l'une sous l'autre :
|
P.G. : |
1 |
10 |
100 |
1 000 |
104 |
105 |
... 10n |
|
P.A. : |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
... n |
Si nous prenons deux nombres d'une même colonne, nous dirons par définition que le nombre de la progression arithmétique est le logarithme du nombre de la progression géométrique.
Ainsi, nous dirons que 2 est le logarithme de 100.
On écrit : log pour logarithme
Le logarithme correspond donc à l'exposant de la puissance de base 10 ; 2 est le logarithme de 102 = 100 ; 3 celui de 103 = 1 000 ; 5 celui de 105 ...
Règle : Le logarithme d'une puissance de 10 supérieur à 1 est positif et égal à l'exposant de la puissance de 10.
Remarque : La raison de la progression géométrique étant 10, les logarithmes obtenus, sont dits décimaux ou à base 10 ou encore vulgaires.
1. 2. 2. - LOGARITHME D'UN NOMBRE COMPRIS ENTRE 0 ET 1
La même progression géométrique que celle définie plus haut, donne :
La même progression arithmétique que ci-dessus vers les nombres négatifs, donne :
Écrivons les deux progressions l'une en-dessous l'autre. Comme précédemment, le nombre de la progression arithmétique est le logarithme du nombre correspondant de la progression géométrique.
|
P.G. : |
1 / 10n |
.... |
1 / 105 |
1 / 104 |
1 / 103 |
1 / 102 |
1 / 10 |
1 |
10 |
102 |
|
P.A. : |
- n |
.... |
- 5 |
- 4 |
- 3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
Ainsi : log 10-5 = log (1 / 105) = - 5 .... et log 10-1 = log 1 / 10 = - 1
Règle : Le logarithme d'une puissance de 10 inférieure à 1 est négatif et égal à l'exposant de la puissance de 10.
Le même procédé a été utilisé pour déterminer les logarithmes des nombres décimaux et des tables de logarithmes ont été établies. Nous parlerons de ces tables un peu plus tard.
1. 2. 3. - TABLEAU RÉCAPITULATIF
Résumons ce qui vient d'être dit.
|
Nombres décimaux > 0 |
Puissance de 10 |
Logarithmes |
|
0 |
- |
- |
|
0,0001 |
10-4 |
- 4 |
|
0,01 |
10-2 |
- 2 |
|
0,1 |
10-1 |
- 1 |
|
1 |
100 |
0 |
|
10 |
101 |
1 |
|
100 |
102 |
2 |
|
1 000 |
103 |
3 |
|
10 000 |
104 |
4 |
On retiendra que :
Les nombres négatifs n'ont pas de logarithme ;
Le logarithme de 1 est égal à zéro ;
Les logarithmes des nombres plus grands que 1 sont
positifs ;
Les logarithmes des nombres supérieurs à 0 et inférieurs
à 1 sont négatifs ;
Seules les puissances de 10 ont pour logarithmes des
nombres entiers.
Exemples : log 1 000 = 3 ; log 0,001 = - 3
1. 3. - PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES
1. 3. 1. - LOGARITHMES D'UN PRODUIT
Soient deux nombres A et B, et a et b leurs logarithmes.
Nous pouvons écrire d'après la définition même des logarithmes (paragraphe 1. 2.)
Soit maintenant le produit AB :
et en prenant le logarithme des deux membres :
D'où la formule fondamentale suivante :
Vous voyez tout de suite l'intérêt des logarithmes : on a remplacé le calcul d'un produit par celui d'une somme.
En généralisant, nous écrirons :
Exemple : Nous devons calculer le logarithme du nombre 300.
Nous allons décomposer 300 en un produit de facteurs inférieurs à 100.
D'où, en appliquant les règles précédentes :
On aurait encore pu écrire :
Ou encore :
1. 3. 2. - LOGARITHME D'UN QUOTIENT
Soit le quotient A / B = Q
D'où l'on tire : A = B . Q
Appliquons la règle précédente :
Donc :
Une division a été remplacée par une soustraction.
Exemple :
Soit le quotient : 200 / 10 dont nous voulons connaître le logarithme.
Nous pouvons écrire :
Il est bien évident que nous aurions pu, au départ, calculer le quotient de 200 / 10, soit 20 et chercher le logarithme de 20 ou le calculer en fonction des règles connues et sachant que 20 = 2 x 10.
Autre exemple :
Soit le quotient 59 / 27 dont nous voulons connaître le logarithme :
La table ou tout simplement d'une calculatrice dite «scientifique» nous donne directement les valeurs :
1. 3. 3. - LOGARITHME D'UN NOMBRE ÉLEVÉ A UNE PUISSANCE P
Soit le nombre A élevé à la puissance p :
Exemple : Quel est le logarithme de 1 000 ?
Appliquons la dernière relation :
log 103 = 3
Autre exemple : Quel est le logarithme de 102,5 ?
log 102,5 = 2,5
Troisième et dernier exemple :
Quel est le logarithme de 1 600 ?
Nous nous trouvons avec un produit dont chacun des termes est élevé au carré :
D'où : log 1 600 = log 42 + log 102
log 42 = 2 log 4
= 2 x 0,60206 = 1,20412
log 102 = 2 log 1
= 2 x 1 = 2
et enfin log 1 600 = 1,20412 + 2
soit : log 1 600 = 3,20412
1. 3. 4. - GÉNÉRALISATION
La formule ci-dessus reste valable si (p) est un nombre fractionnaire : p = m / n
Or, une puissance fractionnaire est une extraction de racine.
En particulier si m / n = 1 / 2, nous avons une extraction de racine carrée :
Vous sentez plus encore, dès maintenant, l'intérêt considérable que peuvent présenter les logarithmes. Une extraction quelconque de racine (aussi compliqué que l'on veut) qui serait inextricable par la méthode de calcul classique, se résout très rapidement à l'aide des logarithmes.
Prenons un exemple : Soit à extraire la racine carrée de 100.
Or, le nombre R qui a pour logarithme 1 est 10, donc :
Nous voyons que les logarithmes permettent d'effectuer facilement des calculs complexes à condition, bien entendu, de bien connaître les règles d'application.
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Daniel
